DOI: https://doi.org/10.20998/2079-0023.2019.02.02

РОЗВ’ЯЗАННЯ МАТРИЧНОГО РІВНЯННЯ СІЛЬВЕСТРА СПЕКТРАЛЬНИМ МЕТОДОМ

Oleksandr Sergiyovich Kutsenko, Mykyta Andriyovich Odarchenko

Анотація


Матричні лінійні рівняння Сільвестра та Ляпунова широко використовуються в теорії управління і теорії стійкості руху, а також при розв’язанні рівняння Ріккаті у задачі аналітичного конструювання оптимальних регуляторів. Особливої актуальності проблема розв’язання рівняння Сільвестра придбала у зв'язку з вирішенням завдань синтезу спостерігачів Люенбергера зниженої розмірності та задач модального синтезу систем управління лінійними автоматичними системами. У роботі проведено аналіз існуючих методів розв’язання матричного рівняння Сільвестра. Обґрунтовано обмеженість основних методів чисельного розв’язання матричних рівнянь, а також відсутність аналітичних методів розв’язання. В роботі запропоновано досить простий метод розв’язання лінійного матричного рівняння Сільвестра, що є узагальненням широко відомого в теорії стійкості матричного рівняння Ляпунова. В основу методу покладено спектральне розкладання матричного лінійного оператора за його власними векторами, що представляють собою матриці, утворені добутками власних векторів матриць лінійного і спряженого до нього операторів. У результаті отримано конструктивний розв’язок матричного рівняння Сільвестра. Розглянуто випадки як дійсних так і комплексно спряжених власних чисел матриць рівнянь Сільвестра. Розроблено алгоритм і програмне забезпечення для розв’язання матричного рівняння Сільвестра великої розмірності. Для реалізації методу використовуються стандартні процедури розв’язання повної задачі на власні значення для дійсних матриць. Чисельні експерименти підтвердили високу ефективність запропонованого методу як з точки зору витрат часу так і точності отриманих результатів при розв’язанні матричних рівнянь Сільвестра і Ляпунова великої розмірності.

Ключові слова


матричні рівняння; спектральне розкладання матриць; власні числа; власні вектори; лінійний оператор; квазібіортогональність базисів; спряжений оператор

Повний текст:

PDF

Посилання


Andreev Yu. N. Upravlenie konechnomernymi lineynimi ob’ektami [Management of finite-dimensional linear objects]. Moscow, Nauka Publ., 1976. 424 p.

Demidenko G. V. Matrichnye uravneniya [Matrix equations]. Novosibirsk, Novosibirsk University Publ., 2009. 203 p.

Kuzovkov N. T. Modal’noe upravlenie I nablyudayuschie ustroystva [Modal control and monitoring devices]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1976. 184 p.

Belonin N. A. Novyy kurs teorii upravleniya dvizheniem [New course in motion control theory]. St. Petersburg, St. Petersburg University Publ., 2000. 160 p.

Ikramov Kh. D. Chislennoe reshenie matrichnykh uravnenij [Numerical solution of matrix equations]. Moscow, Nauka Publ., 1954. 575 p.

Chujko S. M. O reshenii linejnykh matrichnykh uravnenij [On the solution of linear matrix equations]. Visnik Kharkivskogo naczionalnogo universitetu imeni V.N. Karazina. Ser. «Matematika, prikladna matematika i mekhanika» [Bulletin of the Kharkiv National Karazin University. Avg. "Mathematics, Applied Mathematics and Mechanics"]. 2015, vol. 82, pp. 27–33.

Vetoshkin А. М., Shum А. А. Reshenie matrichnykh uravnenij Silvestra v sluchae kommutiruyushhikh koefficzientov [Solution of Sylvester matrix equations in the case of commuting coefficients]. Lesnoj vestnik [Forest Herald]. 2018, vol. 22, no. 2, pp. 140–143.

Simonyan S. O., Ajvazyan A. A. K resheniyu odnoparametricheskikh matrichny`kh uravnenij tipa АХ+ХB=C [To the solution of one-parameter matrix equations of the type AX+XB=C]. «Radioelektronika, informatika, upravlinnya» [Radio Electronics, Informatics, Management]. 2016, no. 4, pp. 44–53.

Zybin E. Yu. [at al.] Obshhie analiticheskie formy resheniya uravnenij Silvestra i Lyapunova dlya nepreryvnykh i diskretnykh dinamicheskikh sistem [General analytical forms for solving the Sylvester and Lyapunov equations for continuous and discrete dynamical systems]. Izvestiya RAN. Teoriya i sistemy upravleniya [Proceedings of the RAS. Theory and control systems]. 2017, no. 1, pp. 5–22.

Gantmakher F. R. Teoriya matricz [Matrix theory]. Moscow: Fizmatlit, 1954. 575 p.

Bellman R. Vvedenie v teoriyu matric [Introduction to matrix theory]. Moscow, Nauka Publ., 1969. 376 p.

Shestopal V. E. Reshenie matrichnogo uravneniya AX+XB=C [Solution of the matrix equation AX+XB=C]. – Mat. Zametki [Math notes]. 1976, vol. 19, no. 3, pp. 449–451.