ВИКОРИСТАННЯ БАГАТОШАРОВОЇ НЕЙРОННОЇ МЕРЕЖІ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Автор(и)

DOI:

https://doi.org/10.20998/2079-0023.2021.02.13

Ключові слова:

системи диференціальних рівнянь, штучні нейронні мережі, багатошарова нейронна мережа, чисельні методи, метод градієнтного спуску, функція похибки розв’язку

Анотація

В статті розглядається дослідження методів чисельного розв’язку систем диференціальних рівнянь з використанням нейронних мереж. Для
досягнення поставленої мети були вирішені наступні взаємозалежні задачі: проведений огляд галузей, що потребують розв’язання систем
диференціальних рівнянь, а також реалізований метод розв’язання систем диференціальних рівнянь за допомогою багатошарових нейронних
мереж. В роботі показано, що різні типи систем диференціальних рівнянь можуть бути розв’язані єдиним методом, який потребує лише
завдання функції втрат для оптимізації, що цілком створюється з диференціальних рівнянь та не потребує розв’язання рівнянь відносно
найвищої похідної. Розв’язок систем диференціальних рівнянь за допомогою нейронних мереж є функції задані у аналітичній формі, що
можуть бути диференційовані або інтегровані також аналітично. В ході виконання даної роботи була знайдена покращена форма побудови
пробного розв’язку систем диференціальних рівнянь, що задовольняє початковим умовам за будовою, але має менший вплив на помилку
розв’язку на відстані від початкових умов у порівнянні з формою побудови такого розв’язку. Також було знайдено спосіб модифікації
розрахунку функції втрат для випадків, коли процес розв’язання зупиняється в локальному мінімумі, що спричиняться великою залежністю
наступних значень функцій від точності знаходження попередніх значень. Серед результатів можна зазначити, що розв’язання систем
диференціальних рівнянь за допомогою штучних нейронних мереж може мати точність порівняну з класичними чисельними методами
розв’язання диференціальних рівнянь, але зазвичай потребує значно більшого часу для досягнення близьких результатів на задачах малих
розмірностей. Основною перевагою використання нейронних мереж для розв’язання систем диференціальних рівнянь є те, що розв’язок
знаходиться в аналітичній формі та може бути знайдений не тільки для окремих значень параметрів системи рівнянь, але й для всіх значень
параметрів в обмеженій області значень.

Біографії авторів

Наталя Марченко, Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут»

кандидат технічних наук, доцент, доцент кафедри системного аналізу та
інформаційно-аналітичних технологій НТУ «ХПІ», м. Харків, Україна

Ганна Сидоренко, Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут»

кандидат технічних наук, доцент, доцент кафедри системного аналізу та інформаційно-аналітичних технологій НТУ «ХПІ», доцент кафедри моделювання систем і технологій ХНУ ім. В. Н. Каразіна, м. Харків; Україна

Роман Руденко

магістр, інженер-програміст; м. Харків, Україна

Посилання

Zadachyn V. M., Konyushenko I. G. Chysel’ni metody: Navchal’nyi posibnyk [Numerical methods]. Kharkiv, KhNEU Publ., 2014. 180 p.

Hayrer E., Wanner G. Reshenie obyknovennyh uravnenij. Nezhestkie sadachi. [Solving ordinary differential equations. Non-rigid tasks]. Moscow, Mir Publ., 1999. 685 p.

Lagaris I. E., Likas A., Fotiadis D. I. Artificial Neural Networks for Solving Ordinary and Partial Differential Equations. IEEE Transactions on Neural Networks. 1998, vol. 9, issue 5, pp. 987– 1000.

Devipriya R., Selvi S. Modelling and Solving Differential Equations using Neural Networks: A Study. International Journal of Computational Intelligence and Informatics. 2020, vol. 10, issue 1, pp. 18–23.

Okereke R. N., Maliki O. S, Oruh B. I. A novel method for solving ordinary differential equations with artificial neural networks. Applied Mathematics. 2021, issue 12, pp. 900–918. DOI: 10.4236/am.2021.1210059.

Tsoulos I. G., Gavrilis D., Glavas E. Solving differential equations with constructed neural networks. Neurocomputing. 2009, vol. 72, issue 10–12, pp. 2385–2391.

Korotkaya L. I. Ispol’sovanie neyronnyh setej pri chislennom reshenii differentsyal’nyh uravneniy [The use of neural networks in the numerical solution of some systems of differential equations]. Eastern European Journal of Enterprise Technologies. 2011, issue 3, no. 4(51), pp. 24–27. ISSN 1729-3774.

Denisyuk O. R. Opredelenie ratsyonal’nyh parametrov chislennogo reshenia system differencial’nyh uravneniy nekotoryh klassov [Determination of rational parameters for the numerical solution of systems of differential equations of some classes]. Visnyk of Kherson National Technical University [Bulletin of the Kherson National Technical University]. Kherson Publ., 2016, no. 3 (58), pp. 208–212. ISSN 2078-4481.

Aarts L. P., Van Der Veer P. Neural network method for solving partial differential equations. Neural Processing Letters. 2001, Vol. 14, no. 3, рp. 261–271.

Sirignano J, Spiliopoulos K. DGM: A deep learning algorithm for solving partial differential equations. Journal of computational physics. 2018, vol. 375, pp. 1339–1364.

Baymani М., Kerayechian A., Effati S. Artificial Neural Networks Approach for Solving Stokes Problem. Applied Mathematics. 2010, no. 01(04), pp. 288–292. DOI:10.4236/am.2010.14037.

Marchenko N. A, Sydorenko G. Yu, Rudenko R. O. Using neural networks to solve the differential equation. Informaciyni systemy ta tehnologii: praci 10th Mighnarodnoii konferencii [Information systems and technologies IST-2021 Proceedings of the 10-th International Scientific and Technical Conference]. Kharkiv, KhNURE Publ., 2021, pp. 125–129.

##submission.downloads##

Опубліковано

2021-12-28

Як цитувати

Марченко, Н., Сидоренко, Г., & Руденко, Р. (2021). ВИКОРИСТАННЯ БАГАТОШАРОВОЇ НЕЙРОННОЇ МЕРЕЖІ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ. Вісник Національного технічного університету «ХПІ». Серія: Системний аналiз, управління та iнформацiйнi технологiї, (2 (6), 81–88. https://doi.org/10.20998/2079-0023.2021.02.13

Номер

Розділ

ІНФОРМАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ